行列式是矩阵代数中重要研究的对象，在很多场合中发挥着重要的作用，而对于一个行列式的计算更是重点，然而对于一些阶数未知的行列式来说，运用初等方法比较难以求出，这里便介绍运用诸多方法计算
n
{\displaystyle n}
阶行列式的方法，这些方法在一般的线性代数中也十分常用。
目录
1 化三角形法
2 递推公式法
3 拆解法
4 加边法
5 运用 Vandermonde 行列式
6 运用矩阵乘法
7 Laplace 展开
8 析因子法
9 变阶法
10 上下节
11 参考资料
化三角形法[]
即通过初等变换将行列式化为上（下）三角行列式，这样行列式的值就是对角线上元素的乘积，这种方法简单易操作，但需要注意到行列式的行列之间的联系，在
n
{\displaystyle n}
中通常要连续做多次这样的行列初等变换才能逐步化为上（下）三角行列式，但有时这样做会破坏行列式的整体结构，使原来的行列式复杂化。
相关介绍见三角行列式。
递推公式法[]
有些行列式按照某个规则展开后可得到有关
D
n
{\displaystyle D_n }
及其低阶行列式的关系式，即得到一个递推公式，求解这个递推公式即可得到行列式的值。这一方法通常要用到归纳法原理，这一方法的最佳实践就是三对角行列式的求解。
相关介绍见三对角行列式。
拆解法[]
如果
|
A
|
{\displaystyle |A|}
的某一行（列）的元素是
|
B
|
,
|
C
|
{\displaystyle |B|, |C| }
对应行（列）元素的和，其余位置的元素都相等，那么
|
A
|
=
|
B
|
+
|
C
|
{\displaystyle |A| = |B| + |C| }
。运用这一性质，可将难于求解的行列式化为两个易求解、规律性强的行列式的和，再求这两个行列式。一般而言，这个方法对于某一行（列）只有一个元素和其余元素不同的行列式很实用。例如，
|
D
n
|
=
|
x
y
y
⋯
y
y
z
x
y
⋯
y
y
z
z
x
⋯
y
y
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
z
z
z
⋯
x
y
z
z
z
⋯
z
x
|
=
|
z
y
y
⋯
y
y
z
x
y
⋯
y
y
z
z
x
⋯
y
y
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
z
z
z
⋯
x
y
z
z
z
⋯
z
x
|
+
|
x
−
z
y
y
⋯
y
y
z
x
y
⋯
y
y
z
z
x
⋯
y
y
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
z
z
z
⋯
x
y
z
z
z
⋯
z
x
|
=
z
|
1
0
0
⋯
0
0
1
x
−
y
0
⋯
0
0
1
z
−
y
x
−
y
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
v
d
o
t
s
1
z
−
y
z
−
y
⋯
x
−
y
0
1
z
−
y
z
−
y
⋯
z
−
y
x
−
y
|
+
(
x
−
z
)
|
D
n
−
1
|
=
z
(
x
−
y
)
n
−
1
+
(
x
−
z
)
|
D
n
−
1
|
.
{\displaystyle \begin{align}
|D_n| & = \begin{vmatrix}
x & y & y & \cdots & y & y \\
z & x & y & \cdots & y & y \\
z & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & y \\
z & z & z & \cdots & z & x \\
\end{vmatrix} \\ & =
\begin{vmatrix}
z & y & y & \cdots & y & y \\
z & x & y & \cdots & y & y \\
z & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & y \\
z & z & z & \cdots & z & x \\
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x-z & y & y & \cdots & y & y \\
z & x & y & \cdots & y & y \\
z & z & x & \cdots & y & y \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
z & z & z & \cdots & x & y \\
z & z & z & \cdots & z & x \\
\end{vmatrix} \\ & = z
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & x-y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & z-y & x-y & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & vdots \\
1 & z-y & z-y & \cdots & x-y & 0 \\
1 & z-y & z-y & \cdots & z-y & x-y \\
\end{vmatrix} + (x-z) |D_{n-1}| \\
& = z (x-y)^{n-1} +(x-z)|D_{n-1}|.
\end{align}}
同理得
|
D
n
|
=
y
(
x
−
z
)
n
−
1
+
(
x
−
z
)
|
D
n
−
1
|
.
{\displaystyle |D_n| = y(x-z)^{n-1} + (x-z)|D_{n-1}|. }
进而，
|
D
n
|
=
z
(
x
−
y
)
n
−
y
(
x
−
z
)
n
z
−
y
.
{\displaystyle |D_n| = \dfrac{z(x-y)^n - y(x-z)^n}{z-y}. }
这个例子中还使用到了前面的两个方法。
加边法[]
一般的计算行列式，都是不断降阶，力求找出规律或一直降阶到易于求解的行列式上去，而加边法则“反其道而行之”，它通过给原行列式加一个侧行以及侧列使它的阶数升高，有时这样可以找出规律，易于求解或简化计算。要注意的是，所加边之后的行列式要可以控制，意思就是说要知道新行列式与原行列式之间的关系。见下例，其中
a
i
≠
0
,
a
=
1
,
2
,
⋯
,
n
.
{\displaystyle a_i \ne 0, a = 1,2,\cdots,n. }
|
D
n
|
=
|
0
a
1
+
a
2
a
1
+
a
3
⋯
a
1
+
a
n
a
2
+
a
1
0
a
2
+
a
3
⋯
a
2
+
a
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
+
a
1
a
n
+
a
2
a
n
+
a
3
⋯
0
|
n
=
|
1
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
0
0
a
1
+
a
2
a
1
+
a
3
⋯
a
1
+
a
n
0
a
2
+
a
1
0
a
2
+
a
3
⋯
a
2
+
a
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
a
n
+
a
1
a
n
+
a
2
a
n
+
a
3
⋯
0
|
n
+
1
=
|
1
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
−
1
−
a
1
a
1
a
1
⋯
a
1
−
1
a
2
−
a
2
a
2
⋯
a
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
−
1
a
n
a
n
a
n
⋯
−
a
n
|
n
+
1
=
|
1
0
0
0
0
⋯
0
0
1
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
a
1
−
1
−
a
1
a
1
a
1
⋯
a
1
a
2
−
1
a
2
−
a
2
a
2
⋯
a
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
−
1
a
n
a
n
a
n
⋯
−
a
n
|
n
+
2
=
|
1
0
−
1
−
1
−
1
⋯
−
1
0
1
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
a
1
−
1
−
2
a
1
0
0
⋯
0
a
2
−
1
0
−
2
a
2
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
−
1
0
0
0
⋯
−
2
a
n
|
n
+
2
=
|
1
−
n
2
1
2
∑
j
=
1
n
1
a
j
−
1
−
1
−
1
⋯
−
1
1
2
∑
i
=
1
n
a
i
1
−
n
2
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
0
0
−
2
a
1
0
0
⋯
0
0
0
0
−
2
a
2
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
0
0
⋯
−
2
a
n
|
n
+
2
=
(
−
2
)
n
∏
k
=
1
n
a
k
|
1
−
n
2
1
2
∑
j
=
1
n
1
a
j
1
2
∑
i
=
1
n
a
i
1
−
n
2
|
=
(
−
2
)
n
−
2
(
2
n
−
n
2
−
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
a
j
)
∏
k
=
1
n
a
k
.
{\displaystyle \begin{align}
|D_n| & = \begin{vmatrix}
0 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & \cdots & a_1+a_n \\
a_2+a_1 & 0 & a_2+a_3 & \cdots & a_2+a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_n+a_1 & a_n+a_2 & a_n+a_3 & \cdots & 0 \\
\end{vmatrix}_n \\ & =
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
0 & 0 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & \cdots & a_1+a_n \\
0 & a_2+a_1 & 0 & a_2+a_3 & \cdots & a_2+a_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_n+a_1 & a_n+a_2 & a_n+a_3 & \cdots & 0 \\
\end{vmatrix}_{n+1} \\ & =
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
-1 & -a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
-1 & a_2 & -a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & a_n & a_n & a_n & \cdots & -a_n \\
\end{vmatrix}_{n+1} \\ & =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1 & -1 & -a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & -1 & a_2 & -a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n & -1 & a_n & a_n & a_n & \cdots & -a_n \\
\end{vmatrix}_{n+2} \\ & =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
0 & 1 & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1 & -1 & -2a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_2 & -1 & 0 & -2a_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n & -1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2a_n \\
\end{vmatrix}_{n+2} \\ & =
\begin{vmatrix}
1-\dfrac{n}{2} & \dfrac{1}{2}\displaystyle{\sum_{j=1}^n \dfrac{1}{a_j}} & -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
\dfrac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i}& 1-\dfrac{n}{2} & a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
0 & 0 & -2a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2a_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2a_n \\
\end{vmatrix}_{n+2} \\ & =
(-2)^n \displaystyle{\prod_{k=1}^n a_k} \begin{vmatrix}
1-\dfrac{n}{2} & \dfrac{1}{2}\displaystyle{\sum_{j=1}^n \dfrac{1}{a_j}} \\
\dfrac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i}& 1-\dfrac{n}{2} \\
\end{vmatrix} \\ & =
(-2)^{n-2} \displaystyle{\left(2n-n^2 - \sum_{i,j=1}^n \dfrac{a_i}{a_j} \right) \prod_{k=1}^n a_k }.
\end{align}}
这个例子中用到了两次加边，在每个行列式的右下角注明了它的阶数，阶数增加的操作就是相应的加边操作。
运用 Vandermonde 行列式[]
要用到 Vandermonde 行列式解题的行列式，其形式必定和 Vandermonde 行列式十分相似。
相关介绍见 Vandermonde 行列式。
运用矩阵乘法[]
有的时候一个行列式是由两个矩阵相乘的行列式，因此可拆成两个行列式的乘积计算，依据的原理是
|
A
B
|
=
|
A
|
|
B
|
.
{\displaystyle |AB| = |A| |B|.}
例如，
|
D
n
|
=
|
1
−
a
1
n
b
1
n
1
−
a
1
b
1
1
−
a
1
n
b
2
n
1
−
a
1
b
2
⋯
1
−
a
1
n
b
n
n
1
−
a
1
b
n
1
−
a
2
n
b
1
n
1
−
a
2
b
1
1
−
a
2
n
b
2
n
1
−
a
2
b
2
⋯
1
−
a
2
n
b
n
n
1
−
a
2
b
n
⋮
⋮
⋱
⋮
1
−
a
n
n
b
1
n
1
−
a
n
b
1
1
−
a
n
n
b
2
n
1
−
a
n
b
2
⋯
1
−
a
1
n
b
n
n
1
−
a
n
b
n
|
=
|
∑
k
=
1
n
−
1
a
1
k
b
1
k
∑
k
=
1
n
−
1
a
1
k
b
2
k
⋯
∑
k
=
1
n
−
1
a
1
k
b
n
k
∑
k
=
1
n
−
1
a
2
k
b
1
k
∑
k
=
1
n
−
1
a
2
k
b
2
k
⋯
∑
k
=
1
n
−
1
a
2
k
b
n
k
⋮
⋮
⋱
⋮
∑
k
=
1
n
−
1
a
n
k
b
1
k
∑
k
=
1
n
−
1
a
n
k
b
2
k
⋯
∑
k
=
1
n
−
1
a
n
k
b
n
k
|
=
|
1
a
1
⋯
a
1
n
−
1
1
a
2
⋯
a
2
n
−
1
⋮
⋮
⋱
⋮
1
a
n
⋯
a
n
n
−
1
|
|
1
1
⋯
1
b
1
b
2
⋯
b
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
1
n
−
1
b
2
n
−
1
⋯
b
n
n
−
1
|
=
∏
1
⩽
i
<
j
⩽
n
(
a
j
−
a
i
)
(
b
j
−
b
i
)
.
{\displaystyle \begin{align}
|D_n| & = \begin{vmatrix}
\dfrac{1-a_1^nb_1^n}{1-a_1b_1} & \dfrac{1-a_1^nb_2^n}{1-a_1b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_1^nb_n^n}{1-a_1b_n} \\
\dfrac{1-a_2^nb_1^n}{1-a_2b_1} & \dfrac{1-a_2^nb_2^n}{1-a_2b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_2^nb_n^n}{1-a_2b_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{1-a_n^nb_1^n}{1-a_nb_1} & \dfrac{1-a_n^nb_2^n}{1-a_nb_2} & \cdots & \dfrac{1-a_1^nb_n^n}{1-a_nb_n} \\
\end{vmatrix} \\ & =
\begin{vmatrix}
\sum_{k=1}^{n-1} a_1^kb_1^k & \sum_{k=1}^{n-1} a_1^kb_2^k & \cdots & \sum_{k=1}^{n-1} a_1^kb_n^k \\
\sum_{k=1}^{n-1} a_2^kb_1^k & \sum_{k=1}^{n-1} a_2^kb_2^k & \cdots & \sum_{k=1}^{n-1} a_2^kb_n^k \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sum_{k=1}^{n-1} a_n^kb_1^k & \sum_{k=1}^{n-1} a_n^kb_2^k & \cdots & \sum_{k=1}^{n-1} a_n^kb_n^k \\
\end{vmatrix} \\ & =
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1} \\
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_1^{n-1} & b_2^{n-1} & \cdots & b_n^{n-1} \\
\end{vmatrix} \\ & =
\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j - a_i)(b_j - b_i).
\end{align}}
以上的例子中将所求行列式拆成了两个 Vandermonde 行列式的乘积。
Laplace 展开[]
当行列式按照某一行（列）展开比较复杂且完全破坏了原行列式的结构的时候，可以考虑同时按照多行或多列展开，这就是 Laplace 展开，它是说，在行列式中任取
k
⩽
n
−
1
{\displaystyle k \leqslant n-1 }
行（列），该$ k $行（列）上的全部
k
{\displaystyle k}
阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和就是该行列式的值。
相关介绍见 Laplace 展开。
析因子法[]
对于一个
n
{\displaystyle n}
阶文字行列式而言，它的结果应是一个多项式，如果我们可以找到这个多项式的全部因子（包含重数），而如果也知道了最高次项的次数以及系数，那么就可以确定这个文字行列式的结果（用因式分解的形式写出）。在寻求根时可以用特殊值验证，在寻求某个根的重数时，可以用多项式的导数判断。
相关介绍见析因子法。
变阶法[]
这个方法是从关联矩阵的特征根中得到的一个结论的应用。
相关介绍见 关联矩阵的特征根#交换矩阵的特征多项式。
上下节[]
上一节：三对角行列式
下一节：析因子法
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）